Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Nắm kiến thức của bài 8: biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ. Vận dụng phương pháp qua ví dụ và kiểm tra từng dạng toán.

Trước khi học

Tọa độ vectơ; cosin.

Kiến thức cần nhớ

Cộng, trừ vectơ và nhân vectơ với một số bằng cách thực hiện trên từng tọa độ. Nếu a⃗=(a1,a2,a3)\vec a=(a_1,a_2,a_3) thì ka⃗=(ka1,ka2,ka3)k\vec a=(ka_1,ka_2,ka_3).
Với a⃗=(a1,a2,a3)\vec a=(a_1,a_2,a_3) và b⃗=(b1,b2,b3)\vec b=(b_1,b_2,b_3), a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Với hai vectơ khác không: cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}. Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0. Góc giữa vectơ thuộc [0,180∘][0,180^\circ].

Cộng, trừ, nhân vectơ với một số và độ dài

Phương pháp

Thực hiện trên từng tọa độ. Với vectơ khác không, kiểm tra cùng phương bằng quan hệ bội số; kiểm tra kết quả bằng phép tính ngược.

Ví dụ 1

Cho a⃗=(1,2,−1)\vec a=(1,2,-1), b⃗=(2,−1,3)\vec b=(2,-1,3). Tính 2a⃗−b⃗2\vec a-\vec b.
Xem lời giải từng bước
2a⃗=(2,4,−2)2\vec a=(2,4,-2) nên 2a⃗−b⃗=(0,5,−5)2\vec a-\vec b=(0,5,-5).

Ví dụ 2

Tìm độ dài u⃗=(2,3,6)\vec u=(2,3,6) và xét quan hệ với v⃗=(4,6,12)\vec v=(4,6,12).
Xem lời giải từng bước
∣u⃗∣=4+9+36=7|\vec u|=\sqrt{4+9+36}=7. Vì v⃗=2u⃗\vec v=2\vec u, hai vectơ cùng hướng và ∣v⃗∣=14|\vec v|=14.

Tích vô hướng và góc giữa vectơ

Phương pháp

Tính tích vô hướng và độ dài → chia theo công thức cosin → suy ra góc; kiểm tra vectơ khác không.

Ví dụ 1

Góc giữa (1,0,0)(1,0,0) và (1,1,0)(1,1,0)?
Xem lời giải từng bước
Tích vô hướng là 1, tích độ dài là 2\sqrt2. Cosin bằng 1/21/\sqrt2, góc 45°.

Ví dụ 2

(1,2,0)(1,2,0) và (2,−1,3)(2,-1,3) có vuông góc không?
Xem lời giải từng bước
Tích vô hướng 2−2+0=02-2+0=0, nên vuông góc.

Thi Toán online · Giới thiệu · Liên hệ