Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hiểu kiến thức trọng tâm của giá trị lượng giác của góc lượng giác. Giải bài theo từng bước, kiểm tra điều kiện và giải thích kết quả.

Lý thuyết

Góc từ 0° đến 180°, đường tròn đơn vị.

1. Góc lượng giác và chiều quay

Góc lượng giác mô tả chuyển động quay từ tia đầu đến tia cuối quanh cùng một gốc. Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương; chiều kim đồng hồ là chiều âm. Số đo ghi cả chiều quay và số vòng, nên có thể âm hoặc lớn hơn một vòng.
Với hai tia đầu, cuối cố định, các số đo góc khác nhau một số nguyên vòng: α+k 360∘\alpha+k\,360^\circ hoặc α+2kπ\alpha+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z. Khi cộng góc có hướng, phải dùng cùng đơn vị đo.

2. Độ, radian và độ dài cung tròn

Góc ở tâm chắn cung có độ dài bằng bán kính có số đo 11 radian. 180∘=π rad180^\circ=\pi\text{ rad}. Góc có số đo aa độ tương ứng α=aπ180\alpha=\frac{a\pi}{180} rad; ngược lại a=180απa=\frac{180\alpha}{\pi}.
Với bán kính R>0R\gt 0 và số đo cung θ≥0\theta\ge0 tính bằng radian, độ dài cung là l=Rθl=R\theta. Nếu mô tả chuyển động quay có số đo có hướng α\alpha, độ dài đường đi ứng với lượt quay đó là R∣α∣R|\alpha|, kể cả các vòng quay trọn.

3. Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác có tâm O(0;0)O(0;0), bán kính 11, điểm gốc A(1;0)A(1;0) và chiều dương ngược kim đồng hồ. Điểm biểu diễn góc α\alpha có tọa độ M(cos⁡α;sin⁡α)M(\cos\alpha;\sin\alpha). Hai góc cùng điểm biểu diễn khi hiệu số đo là 2kπ2k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z.

4. Sin, côsin, tang và côtang

cos⁡α\cos\alpha là hoành độ, sin⁡α\sin\alpha là tung độ của điểm biểu diễn. Hai giá trị luôn tồn tại và thuộc [−1;1][-1;1].
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} khi α≠π2+kπ\alpha\ne\frac\pi2+k\pi; cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} khi α≠kπ\alpha\ne k\pi, với k∈Zk\in\mathbb Z. Luôn kiểm tra điều kiện trước khi dùng tỉ số.

5. Dấu theo góc phần tư

Ở phần tư I, cả bốn giá trị dương. Ở phần tư II, sin dương, cos và tan, cot âm. Ở phần tư III, sin và cos âm, tan và cot dương. Ở phần tư IV, cos dương, sin và tan, cot âm. Trên các trục tọa độ, xét trực tiếp định nghĩa và điều kiện xác định.

6. Các góc đặc biệt

Các góc 0∘,30∘,45∘,60∘,90∘0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ tương ứng 0,π6,π4,π3,π20,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2. Theo thứ tự này, các giá trị sin là 0,12,22,32,10,\frac12,\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt3}2,1; các giá trị cos là 1,32,22,12,01,\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt2}2,\frac12,0.
Tang tương ứng là 0,33,1,30,\frac{\sqrt3}3,1,\sqrt3, rồi không xác định tại 90∘90^\circ. Côtang không xác định tại 0∘0^\circ, sau đó là 3,1,33,0\sqrt3,1,\frac{\sqrt3}3,0. Dùng góc liên quan và dấu phần tư để suy ra các góc còn lại.

7. Các hệ thức lượng giác cơ bản

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. Khi các biểu thức có nghĩa: tan⁡αcot⁡α=1\tan\alpha\cot\alpha=1, 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1+\tan^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha} và 1+cot⁡2α=1sin⁡2α1+\cot^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}.
Khi biết sin hoặc cos, dùng hệ thức bình phương để tìm giá trị còn lại, rồi chọn dấu theo góc phần tư. Nếu biết tang, dùng sin⁡α=tan⁡αcos⁡α\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha và 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1+\tan^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}. Không bỏ dấu khi lấy căn.

8. Các góc có liên quan đặc biệt

Góc đối: sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha, cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha, tan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha)=-\tan\alpha, cot⁡(−α)=−cot⁡α\cot(-\alpha)=-\cot\alpha.
Góc bù: sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha; tang và côtang đổi dấu. Góc phụ: sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin(\frac\pi2-\alpha)=\cos\alpha, cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\frac\pi2-\alpha)=\sin\alpha, tan⁡(π2−α)=cot⁡α\tan(\frac\pi2-\alpha)=\cot\alpha, cot⁡(π2−α)=tan⁡α\cot(\frac\pi2-\alpha)=\tan\alpha.
Hơn kém π\pi: sin, cos đổi dấu; tang, côtang giữ nguyên. Hơn kém 2kπ2k\pi: cả bốn giữ nguyên khi xác định. Ngoài ra sin⁡(α+π2)=cos⁡α\sin(\alpha+\frac\pi2)=\cos\alpha, cos⁡(α+π2)=−sin⁡α\cos(\alpha+\frac\pi2)=-\sin\alpha. Các đẳng thức chỉ áp dụng khi mọi biểu thức có nghĩa.

Nội dung lý thuyết được diễn giải theo Booktoan · Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Thi Toán online · Giới thiệu · Liên hệ