Bài 3. Hàm số lượng giác

$y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên $\mathbb R$, tập giá trị $[-1;1]$, chu kì $2\pi$. Sin là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua $O$; cos là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua $Oy$.

Sin đồng biến trên $[-\frac\pi2+2k\pi;\frac\pi2+2k\pi]$, nghịch biến trên $[\frac\pi2+2k\pi;\frac{3\pi}2+2k\pi]$. Cos đồng biến trên $[-\pi+2k\pi;2k\pi]$, nghịch biến trên $[2k\pi;\pi+2k\pi]$, $k\in\mathbb Z$.

$y=\tan x$ có miền $\mathbb R\setminus\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\}$; $y=\cot x$ có miền $\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}$. Cả hai có tập giá trị $\mathbb R$, là hàm lẻ và có chu kì $\pi$.

Tang đồng biến trên từng khoảng $(-\frac\pi2+k\pi;\frac\pi2+k\pi)$. Côtang nghịch biến trên từng khoảng $(k\pi;(k+1)\pi)$. Không nối đồ thị qua điểm ngoài miền xác định.

Số $T\gt 0$ là một chu kì nếu miền xác định được giữ khi tịnh tiến $\pm T$ và $f(x+T)=f(x)$. Chu kì cơ bản là số dương nhỏ nhất có tính chất đó. Với $a\ne0$, sin và cos của $ax+b$ có chu kì $\frac{2\pi}{|a|}$; tang và côtang có chu kì $\frac\pi{|a|}$.

Với $A\ne0$, $a\ne0$, đồ thị $y=A\sin(ax+b)+d$ hoặc $y=A\cos(ax+b)+d$ có biên độ $|A|$, đường giữa $y=d$, tập giá trị $[d-|A|;d+|A|]$. Nếu $A=0$ hoặc $a=0$, hàm là hằng và không dùng công thức chu kì cơ bản này.

Điều kiện của tang là $\cos u(x)\ne0$; của côtang là $\sin u(x)\ne0$. Với phân thức, mẫu khác $0$; với căn bậc hai, biểu thức dưới căn không âm. Kết hợp tất cả điều kiện và giữ miền ban đầu khi rút gọn.

Dùng $-1\le\sin u\le1$, $-1\le\cos u\le1$, $0\le\sin^2u,\cos^2u\le1$ để tìm cận. Kiểm tra cận có đạt trên miền xét. Với $a,b$ không đồng thời bằng $0$, $a\sin x+b\cos x$ nhận mọi giá trị trong $[-\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{a^2+b^2}]$ khi $x\in\mathbb R$.