Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ôn tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, Toán 12 Kết nối tri thức. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số; Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; Đ

Lý thuyết

Ôn tập kiến thức của Bài 1–5: đơn điệu, cực trị, GTLN–GTNN, tiệm cận, khảo sát đồ thị và ứng dụng đạo hàm.

1. Tính đơn điệu và cực trị

Trên khoảng mà ff khả vi: f′>0f'\gt 0 cho đồng biến, f′<0f'\lt 0 cho nghịch biến. Nếu đạo hàm giữ dấu và chỉ bằng 00 tại hữu hạn điểm, chiều biến thiên vẫn được giữ. Với ff liên tục tại điểm xét, dấu f′f' chuyển từ ++ sang −- cho cực đại, từ −- sang ++ cho cực tiểu.
Khi f′(x0)=0f'(x_0)=0 và có đủ điều kiện áp dụng đạo hàm cấp hai, f′′(x0)<0f''(x_0)\lt 0 cho cực đại, f′′(x0)>0f''(x_0)\gt 0 cho cực tiểu. Với hàm hợp g(x)=f(u(x))g(x)=f(u(x)), dùng g′(x)=u′(x)f′(u(x))g'(x)=u'(x)f'(u(x)) và xét dấu tích.

2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Với hàm liên tục trên đoạn [a,b][a,b] và hữu hạn điểm tới hạn, so sánh f(a)f(a), f(b)f(b) và các giá trị tại điểm bên trong đoạn mà f′=0f'=0 hoặc đạo hàm không tồn tại. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất phải được đạt tại điểm thuộc miền xét. Trên khoảng mở, dùng bảng biến thiên và giới hạn để kiểm tra điều này.

3. Đường tiệm cận

Tiệm cận đứng x=x0x=x_0 xuất hiện khi ít nhất một giới hạn một phía của ff tại x0x_0 là vô cực. Tiệm cận ngang y=Ly=L khi f(x)→Lf(x)\to L ở một hướng vô cực. Tiệm cận xiên y=ax+by=ax+b (a≠0a\ne0) khi f(x)−(ax+b)→0f(x)-(ax+b)\to0 ở một hướng vô cực. Kiểm tra nhân tử chung của tử và mẫu trước khi kết luận.

4. Khảo sát và nhận dạng đồ thị

Xác định miền; xét đạo hàm, khoảng biến thiên và cực trị; tính giới hạn và tiệm cận; lập bảng biến thiên. Tìm giao trục, điểm đặc trưng và tính đối xứng để phác họa đồ thị. Ba dạng trọng tâm: bậc ba, bậc nhất trên bậc nhất, bậc hai trên bậc nhất.

5. Vận dụng và bài toán thực tế

Số nghiệm của f(x)=mf(x)=m là số giao điểm của đồ thị với y=my=m. Khi có tham số, kiểm tra miền và trường hợp hệ số suy biến. Trong mô hình thực tế, xác định biến và ràng buộc, lập hàm mục tiêu rồi kiểm tra điểm tới hạn và biên. Với chuyển động trên một trục, v=s′v=s', a=s′′a=s''; với lợi nhuận L=R−CL=R-C, L′=R′−C′L'=R'-C'.

Nội dung lý thuyết được diễn giải theo Booktoan · Ôn chương 1 - Toán 12.

Bài học trong chương

Thi Toán online · Giới thiệu · Liên hệ