Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Với $y=f(x)$, khi $x$ thay đổi từ $x_0$ đến $x_0+\Delta x$, đặt $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$. Tốc độ thay đổi trung bình là $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ với $\Delta x\ne0$.

Nếu giới hạn tồn tại, tốc độ thay đổi tức thời tại $x_0$ là $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$. Đơn vị của đạo hàm là đơn vị của $y$ chia cho đơn vị của $x$. Dấu đạo hàm cho biết chiều thay đổi của đại lượng.

Nếu $s=s(t)$ là tọa độ của vật chuyển động trên một trục thì vận tốc tức thời là $v(t)=s'(t)$ và gia tốc là $a(t)=v'(t)=s''(t)$, khi các đạo hàm tồn tại. Tốc độ là $|v(t)|$, luôn không âm.

$v(t)\gt 0$ biểu thị chuyển động theo chiều dương; $v(t)\lt 0$ biểu thị chiều âm. $v(t)=0$ là thời điểm cần xét, nhưng không tự động có nghĩa vật đổi chiều. Nếu tọa độ dùng mét và thời gian dùng giây, vận tốc có đơn vị m/s, gia tốc có đơn vị m/s².

Đạo hàm $C'(t)$ của nồng độ $C(t)$ biểu thị tốc độ thay đổi nồng độ; $P'(t)$ của số lượng cá thể $P(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời. Dấu và đơn vị phải được diễn giải theo đại lượng đang mô hình hóa.

Nếu $C(x)$ là tổng chi phí sản xuất $x$ đơn vị hàng, chi phí biên là $C'(x)$. Trong mô hình trơn, $C'(x)$ xấp xỉ phần chi phí tăng thêm khi tăng sản lượng một đơn vị; đó là xấp xỉ từ đạo hàm, không phải đẳng thức luôn đúng với $C(x+1)-C(x)$.

Doanh thu biên là $R'(x)$; lợi nhuận biên là $L'(x)=R'(x)-C'(x)$. Tại điểm tối ưu bên trong miền mà lợi nhuận khả vi, điều kiện cần là $L'(x)=0$, tức $R'(x)=C'(x)$. Cần xét dấu đạo hàm và so sánh cả biên để xác định phương án tốt nhất.

Chọn biến, nêu đơn vị và xác định các ràng buộc. Biểu diễn đại lượng cần tối ưu bằng hàm của biến đã chọn; dùng các quan hệ giữa đại lượng để loại biến phụ. Miền xét phải phản ánh điều kiện thực tế, gồm dấu, giới hạn kích thước, công suất hoặc số lượng.

Trong mô hình kinh tế, doanh thu thường có dạng $R(x)=x\,p(x)$ khi bán $x$ đơn vị với giá mỗi đơn vị $p(x)$. Lợi nhuận là $L(x)=R(x)-C(x)$. Cần xác định đúng đại lượng mục tiêu; doanh thu và lợi nhuận có thể đạt lớn nhất ở các phương án khác nhau.

Tính đạo hàm trên miền cho phép, tìm điểm tới hạn, dùng bảng biến thiên hoặc so sánh giá trị để xác định lớn nhất, nhỏ nhất. Với đoạn đóng phải xét cả đầu mút; với miền mở phải kiểm tra giá trị có thực sự đạt được.

Nghiệm đạo hàm bằng không chỉ là ứng viên. Loại phương án vi phạm ràng buộc. Nếu biến là số nguyên, dùng nghiệm của mô hình liên tục để tìm các số nguyên khả thi lân cận rồi so sánh giá trị mục tiêu, đồng thời xét các biên cần thiết. Kết luận nêu phương án, giá trị tối ưu, đơn vị và mức làm tròn phù hợp.