Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Nắm định nghĩa, tính chất và điều kiện áp dụng của tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

Lý thuyết

Đạo hàm, dấu tam thức bậc hai (Toán 11, 10).

1. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Cho hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên khoảng KK. Với mọi x1,x2∈Kx_1,x_2\in K và x1<x2x_1\lt x_2: nếu f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2) thì ff đồng biến trên KK; nếu f(x1)>f(x2)f(x_1)\gt f(x_2) thì ff nghịch biến trên KK. Tính đồng biến và tính nghịch biến được gọi chung là tính đơn điệu.
Khi đi từ trái sang phải trên một khoảng, đồ thị đi lên biểu thị tính đồng biến; đồ thị đi xuống biểu thị tính nghịch biến. Kết luận phải nêu rõ từng khoảng thuộc tập xác định.

2. Dấu đạo hàm và tính đơn điệu

Giả sử ff có đạo hàm trên khoảng KK. Điều kiện f′(x)>0f'(x)\gt 0 tại mọi x∈Kx\in K bảo đảm ff đồng biến; điều kiện f′(x)<0f'(x)\lt 0 tại mọi x∈Kx\in K bảo đảm ff nghịch biến.
Kết luận vẫn giữ nguyên nếu đạo hàm bằng 00 tại một số hữu hạn điểm, còn tại các điểm khác trong KK đạo hàm có cùng dấu dương hoặc cùng dấu âm. Nếu f′(x)=0f'(x)=0 với mọi x∈Kx\in K thì ff là hàm hằng trên KK.
Không suy ra tính đồng biến nghiêm ngặt chỉ từ f′(x)≥0f'(x)\ge0 nếu chưa kiểm tra khả năng hàm hằng trên một khoảng con. Những điểm không thuộc tập xác định phải tách miền xét; không gộp các khoảng qua điểm gián đoạn.

3. Xét tính đơn điệu bằng bảng biến thiên

Trước hết xác định miền của hàm số. Tính đạo hàm và liệt kê các điểm trong miền mà đạo hàm bằng không hoặc không tồn tại. Sắp xếp các điểm phân chia, xét dấu đạo hàm trên từng khoảng, rồi ghi chiều biến thiên và các giá trị hoặc giới hạn cần thiết vào bảng.
Trong bảng biến thiên, dấu ++ của f′f' đi với mũi tên tăng của ff; dấu −- đi với mũi tên giảm. Từ bảng, đọc các khoảng đồng biến, nghịch biến riêng biệt. Điểm ngoài tập xác định không được ghi như một giá trị của hàm số.

4. Điểm cực đại, điểm cực tiểu và giá trị cực trị

Giả sử x0x_0 là điểm trong một khoảng thuộc tập xác định. Nếu có một lân cận của x0x_0 sao cho f(x)<f(x0)f(x)\lt f(x_0) với mọi x≠x0x\ne x_0 trong lân cận đó, hàm số đạt cực đại tại x0x_0. Nếu thay bằng f(x)>f(x0)f(x)\gt f(x_0), hàm số đạt cực tiểu tại x0x_0.
x0x_0 là điểm cực trị của hàm số; f(x0)f(x_0) là giá trị cực trị; (x0;f(x0))(x_0;f(x_0)) là điểm cực trị của đồ thị. Cực trị chỉ so sánh các giá trị ở gần x0x_0, nên không đồng nghĩa với giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên toàn miền xét.

5. Nhận biết cực trị bằng sự đổi dấu của đạo hàm

Giả sử ff liên tục tại x0x_0 và có đạo hàm ở các điểm lân cận x0x_0 (đạo hàm tại chính x0x_0 có thể không tồn tại). Khi đi qua x0x_0, nếu f′f' đổi từ dương sang âm thì ff đạt cực đại; nếu f′f' đổi từ âm sang dương thì ff đạt cực tiểu.
Theo các giả thiết trên, nếu đạo hàm giữ dấu dương ở cả hai phía hoặc giữ dấu âm ở cả hai phía thì x0x_0 không phải điểm cực trị. Điểm không thuộc tập xác định không thể là điểm cực trị của hàm số.

6. Quy trình tìm cực trị và các điều kiện cần nhớ

Xác định miền; tính f′f'; tìm các điểm trong miền mà f′=0f'=0 hoặc f′f' không tồn tại; xét dấu đạo hàm hai phía mỗi điểm; xác định loại cực trị và tính f(x0)f(x_0). Khi trình bày, ghi rõ điểm cực trị và giá trị tương ứng.
Nếu ff có đạo hàm tại điểm cực trị x0x_0 thì f′(x0)=0f'(x_0)=0. Chiều ngược lại không luôn đúng: nghiệm của f′(x)=0f'(x)=0 mới là điểm cần xét. Hàm số vẫn có thể có cực trị ở một điểm mà đạo hàm không tồn tại; khi đó phải kiểm tra định nghĩa hoặc điều kiện đổi dấu phù hợp.

7. Quy tắc cực trị bằng đạo hàm cấp hai

Với ff có đạo hàm cấp hai liên tục trong một lân cận của x0x_0 và f′(x0)=0f'(x_0)=0: f′′(x0)<0f''(x_0)\lt 0 cho cực đại, f′′(x0)>0f''(x_0)\gt 0 cho cực tiểu. Nếu f′′(x0)=0f''(x_0)=0, quy tắc này chưa kết luận được; quay lại xét dấu f′f' hoặc dùng định nghĩa.

8. Đọc đồ thị đạo hàm và xét hàm hợp

Đồ thị y=f′(x)y=f'(x) ở trên OxOx cho f′>0f'\gt 0; ở dưới OxOx cho f′<0f'\lt 0. Giao với OxOx cho nghiệm f′=0f'=0. Xét dấu hai phía giao điểm để xác định cực trị; tiếp xúc mà không đổi dấu không tạo cực trị.
Với g(x)=f(u(x))g(x)=f(u(x)), g′(x)=u′(x)f′(u(x))g'(x)=u'(x)f'(u(x)). Xét miền xác định, tìm nghiệm từng nhân tử và lập bảng dấu tích. Nếu g(x)=f(x)−h(x)g(x)=f(x)-h(x), so sánh hai đồ thị f′f' và h′h' để xác định dấu g′=f′−h′g'=f'-h'.

9. Tính đơn điệu và cực trị khi có tham số

Hàm bậc ba f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a≠0a\ne0): đặt Δ0=b2−3ac\Delta_0=b^2-3ac. Đồng biến trên R\mathbb R khi a>0a\gt 0, Δ0≤0\Delta_0\le0; nghịch biến khi a<0a\lt 0, Δ0≤0\Delta_0\le0. Có hai điểm cực trị khi Δ0>0\Delta_0\gt 0.
Hàm f(x)=ax+bcx+df(x)=\frac{ax+b}{cx+d} (c≠0c\ne0, ad−bc≠0ad-bc\ne0): f′(x)=ad−bc(cx+d)2f'(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}. Trên khoảng KK không chứa −d/c-d/c, dấu ad−bcad-bc quyết định chiều biến thiên. Hàm không có cực trị.
Hàm trùng phương f(x)=ax4+bx2+cf(x)=ax^4+bx^2+c (a≠0a\ne0) có ba điểm cực trị nếu ab<0ab\lt 0, một điểm cực trị nếu ab≥0ab\ge0. Khi ab<0ab\lt 0, các điểm trên đồ thị là A(0;c)A(0;c) và B,C(±−b2a;c−b24a)B,C\left(\pm\sqrt{-\frac b{2a}};c-\frac{b^2}{4a}\right). Tam giác ABCABC vuông cân tại AA khi b3+8a=0b^3+8a=0; đều khi b3+24a=0b^3+24a=0.
Khi cô lập được tham số: m≥g(x)m\ge g(x) với mọi x∈Kx\in K tương đương m≥sup⁡Kg(x)m\ge\sup_Kg(x); m≤g(x)m\le g(x) tương đương m≤inf⁡Kg(x)m\le\inf_Kg(x). Nếu các cận được đạt, có thể dùng max⁡\max và min⁡\min. Luôn kiểm tra miền xác định và trường hợp hệ số cao nhất bằng 00.

Nội dung lý thuyết được diễn giải theo Booktoan · Bài 1: Tính đơn điệu & cực trị.

Thi Toán online · Giới thiệu · Liên hệ