Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nắm định nghĩa, tính chất và điều kiện áp dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lý thuyết

Đạo hàm và cực trị.

1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một tập

Cho ff xác định trên tập DD. Số MM là giá trị lớn nhất của ff trên DD khi đồng thời có f(x)≤Mf(x)\le M với mọi x∈Dx\in D và tồn tại x0∈Dx_0\in D sao cho f(x0)=Mf(x_0)=M. Kí hiệu M=max⁡x∈Df(x)M=\max_{x\in D}f(x).
Số mm là giá trị nhỏ nhất khi f(x)≥mf(x)\ge m với mọi x∈Dx\in D và tồn tại x1∈Dx_1\in D sao cho f(x1)=mf(x_1)=m. Kí hiệu m=min⁡x∈Df(x)m=\min_{x\in D}f(x). Phải có điểm thuộc miền xét đạt giá trị đó; một giới hạn hữu hạn chưa đủ để kết luận có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Trên đồ thị thuộc miền đang xét, giá trị lớn nhất là tung độ cao nhất được đạt; giá trị nhỏ nhất là tung độ thấp nhất được đạt.

2. Phân biệt giá trị toàn cục và cực trị

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được so sánh trên toàn tập đang xét. Cực đại, cực tiểu chỉ được so sánh trong một lân cận. Vì vậy phải chỉ rõ miền xét và phân biệt giá trị của hàm số với điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị ấy.
Giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một đoạn có thể đạt ở đầu mút. Đầu mút không được tự động xem là điểm cực trị theo định nghĩa cực trị trong một lân cận hai phía.

3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn

Hàm số liên tục trên đoạn đóng [a,b][a,b] luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Với hàm có hữu hạn điểm tới hạn, xét các điểm c1,…,ck∈(a,b)c_1,\ldots,c_k\in(a,b) mà f′(ci)=0f'(c_i)=0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
Tính f(a)f(a), f(b)f(b) và mọi f(ci)f(c_i). Số lớn nhất trong các giá trị này là max⁡[a,b]f\max_{[a,b]}f; số nhỏ nhất là min⁡[a,b]f\min_{[a,b]}f. Ghi kèm tất cả điểm đạt giá trị. Việc bỏ đầu mút có thể làm sai kết quả.
Trước khi dùng quy trình, kiểm tra tính liên tục trên cả đoạn. Nếu có điểm không thuộc tập xác định nằm trong đoạn, phải xét từng phần của miền thực tế và không áp dụng trực tiếp định lí cho cả đoạn.

4. Xét trên khoảng hoặc miền không đóng

Dùng bảng biến thiên, các giá trị tại điểm thuộc miền và giới hạn ở biên để so sánh. Hàm số trên khoảng mở hoặc miền không bị chặn có thể có cả hai giá trị, chỉ có một giá trị, hoặc không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Nếu hàm tăng trên đoạn đóng thì giá trị nhỏ nhất ở đầu trái, lớn nhất ở đầu phải; nếu hàm giảm thì ngược lại. Với đầu mút bị loại khỏi miền, không lấy giá trị tại đầu mút đó làm giá trị đạt được. Nếu hàm không bị chặn trên hoặc dưới thì không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tương ứng.

5. Dùng bất đẳng thức và đặt ẩn phụ

Với A,B>0A,B\gt 0, A+B≥2ABA+B\ge2\sqrt{AB}, dấu bằng khi A=BA=B. Với A,B,C>0A,B,C\gt 0, A+B+C≥3ABC3A+B+C\ge3\sqrt[3]{ABC}, dấu bằng khi A=B=CA=B=C. Muốn kết luận GTNN, cần chứng minh cận dưới là hằng số và dấu bằng đạt tại điểm thuộc miền xét.
Nếu đặt t=u(x)t=u(x), xác định chính xác tập giá trị của tt trên miền của xx, tìm GTLN, GTNN theo tt, rồi giải u(x)=t0u(x)=t_0 để xác định các điểm đạt giá trị.

6. GTLN, GTNN trong bài toán có tham số

Khi hàm số phụ thuộc tham số mm, xét miền xác định và vị trí nghiệm đạo hàm so với hai đầu mút. Chia các trường hợp cần thiết, so sánh các giá trị ứng viên theo mm, rồi giải điều kiện GTLN hoặc GTNN đã cho.
Nếu ff đạt GTLN MM và GTNN NN trên DD, thì m≥f(x)m\ge f(x) với mọi x∈Dx\in D tương đương m≥Mm\ge M; m≤f(x)m\le f(x) tương đương m≤Nm\le N. Với miền không đạt các cận, cần dùng sup⁡\sup và inf⁡\inf.
Trên miền có GTLN MM và GTNN NN của ff, ta có max⁡D∣f(x)∣=max⁡{∣M∣,∣N∣}\max_D|f(x)|=\max\{|M|,|N|\}. Để tìm min⁡D∣f(x)∣\min_D|f(x)|, kiểm tra f(x)=0f(x)=0 có nghiệm thuộc miền hay không; nếu có, giá trị nhỏ nhất bằng 00.

7. Ứng dụng GTLN, GTNN vào bài toán thực tế

Chọn biến và đơn vị, lập miền khả thi từ các ràng buộc. Biểu diễn đại lượng mục tiêu như diện tích, thể tích, chi phí hoặc lợi nhuận bằng hàm một biến. Tìm và so sánh các giá trị ứng viên, kiểm tra biên và điều kiện đạt trước khi kết luận.
Với biến nguyên, so sánh các phương án nguyên khả thi quanh nghiệm của mô hình liên tục và tại biên. Kết luận nêu phương án, giá trị tối ưu, đơn vị và độ chính xác phù hợp.

Nội dung lý thuyết được diễn giải theo Booktoan · Bài 2: GTLN & GTNN của hàm số.

Thi Toán online · Giới thiệu · Liên hệ