Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường thẳng $y=L$ là tiệm cận ngang của đồ thị $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong hai giới hạn $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ bằng số hữu hạn $L$. Chỉ xét hướng vô cực mà tập xác định cho phép.

Hai phía vô cực có thể cho hai tiệm cận ngang khác nhau. Đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang; định nghĩa mô tả hành vi ở vô cực, không cấm giao điểm ở vị trí hữu hạn.

Đường thẳng $x=x_0$ là tiệm cận đứng khi ít nhất một giới hạn một phía $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ hoặc $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$. Một phía có giới hạn vô cực là đủ; chỉ xét phía có các điểm thuộc tập xác định tiến đến $x_0$.

Với hàm phân thức, nghiệm của mẫu số là điểm cần kiểm tra, chưa tự động là tiệm cận đứng. Giữ điều kiện của miền ban đầu, rút gọn khi được phép rồi tính giới hạn; nếu giới hạn hai phía đều hữu hạn thì không có tiệm cận đứng ở điểm đó.

Với $a\ne0$, đường thẳng $y=ax+b$ là tiệm cận xiên nếu $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$. Có thể xét riêng hai hướng vô cực.

Khi các giới hạn tồn tại và hữu hạn, xác định $a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$, sau đó $b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-ax]$, dùng cùng một hướng trong cả hai phép tính. Cần có $a\ne0$ để là tiệm cận xiên; $a=0$ tương ứng với tiệm cận ngang nếu giới hạn của $f$ hữu hạn.

Với $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ và các hệ số cao nhất khác không: bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu cho tiệm cận ngang $y=0$; hai bậc bằng nhau cho tiệm cận ngang bằng tỉ số hệ số cao nhất.

Nếu bậc tử hơn bậc mẫu đúng một đơn vị, chia đa thức để viết $f(x)=ax+b+\frac{R(x)}{Q(x)}$, trong đó $\deg R\lt \deg Q$. Khi đó phần dư tiến về $0$ ở vô cực, nên $y=ax+b$ là tiệm cận xiên. Nếu chênh lệch bậc lớn hơn một thì thương không phải đường thẳng; không gọi thương đó là tiệm cận xiên.

Xét riêng các nghiệm thực của mẫu để tìm tiệm cận đứng. Khi có tham số, phải kiểm tra trường hợp hệ số cao nhất bằng không, mẫu suy biến hoặc nhân tử bị khử trước khi áp dụng quy tắc bậc.

Xác định miền; tính giới hạn tại các biên hữu hạn để tìm tiệm cận đứng; tính giới hạn ở hai phía vô cực để tìm tiệm cận ngang hoặc xiên. Mỗi kết luận phải ghi phương trình đường thẳng và giới hạn chứng minh. Một hướng vô cực không đồng thời có tiệm cận ngang và tiệm cận xiên với hệ số góc khác không.