Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Xác định tập xác định. Tính đạo hàm và xét dấu để tìm các khoảng biến thiên, cực trị. Tính giới hạn ở các biên và vô cực, xác định tiệm cận nếu có. Tổng hợp vào bảng biến thiên.

Tìm các giao điểm với trục tọa độ và thêm các điểm đặc trưng cần thiết. Vẽ trục, đánh dấu cực trị, tiệm cận và các điểm đã tìm, rồi phác họa từng nhánh đúng chiều biến thiên. Kiểm tra đồ thị phù hợp với miền xác định, bảng biến thiên và giới hạn.

Với $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, $a\ne0$, tập xác định là $\mathbb R$ và $f'(x)=3ax^2+2bx+c$. Đặt $\Delta=b^2-3ac$: nếu $\Delta\gt 0$, đạo hàm có hai nghiệm phân biệt và hàm có hai điểm cực trị; nếu $\Delta\le0$, hàm không có cực trị.

Khi $\Delta\gt 0$, với $x_1\lt x_2$ là nghiệm đạo hàm: dấu đạo hàm ngoài $(x_1,x_2)$ cùng dấu $a$, trong khoảng thì ngược dấu $a$. Khi $\Delta\le0$, hàm đồng biến trên $\mathbb R$ nếu $a\gt 0$, nghịch biến nếu $a\lt 0$; nghiệm kép của đạo hàm không tạo cực trị.

Nếu $a\gt 0$, giới hạn ở $-\infty$ là $-\infty$ và ở $+\infty$ là $+\infty$; nếu $a\lt 0$ thì đảo dấu. Đồ thị không có tiệm cận đứng, ngang hoặc xiên. Giao với $Oy$ là $(0;d)$; giao với $Ox$ có hoành độ là nghiệm thực của $f(x)=0$. Tâm đối xứng là $I\left(-\frac{b}{3a};f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$.

Xét $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $c\ne0$ và $ad-bc\ne0$. Miền xác định là $\mathbb R\setminus\{-d/c\}$ và $f'(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$. Đạo hàm giữ một dấu trên từng khoảng xác định nên hàm không có cực trị.

Nếu $ad-bc\gt 0$, hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-d/c)$ và $(-d/c;+\infty)$; nếu $ad-bc\lt 0$, hàm nghịch biến trên từng khoảng đó. Không gộp thành một khoảng qua $-d/c$.

Tiệm cận đứng là $x=-d/c$, tiệm cận ngang là $y=a/c$. Hai đường này cắt nhau tại tâm đối xứng $I(-d/c;a/c)$. Dùng giới hạn một phía để xác định vị trí hai nhánh. Nếu $ad-bc=0$, hàm rút gọn thành hằng số trên miền ban đầu và không áp dụng kết luận tiệm cận đứng của trường hợp không suy biến.

Xét $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ với $a\ne0$, $d\ne0$ và tử, mẫu không có nhân tử chung. Miền xác định là $\mathbb R\setminus\{-e/d\}$. Đạo hàm là $f'(x)=\frac{ad x^2+2ae x+be-cd}{(dx+e)^2}$. Xét dấu tử đạo hàm, luôn loại điểm $-e/d$.

Phép chia cho $f(x)=\frac{a}{d}x+\frac{bd-ae}{d^2}+\frac{R}{dx+e}$, với $R=c-\frac{e(bd-ae)}{d^2}$. Điều kiện không có nhân tử chung tương đương $R\ne0$. Tiệm cận đứng là $x=-e/d$; tiệm cận xiên là $y=\frac{a}{d}x+\frac{bd-ae}{d^2}$.

Dùng nghiệm đạo hàm để xác định cực trị, giới hạn một phía ở tiệm cận đứng và giới hạn của hiệu giữa hàm số với tiệm cận xiên để vẽ hai nhánh. Giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng. Nếu tử chia hết cho mẫu, đồ thị là đường thẳng bị khuyết một điểm và không còn tiệm cận đứng tại điểm bị loại.

Giao với $Oy$ chỉ tồn tại nếu $0$ thuộc miền, khi đó có tung độ $f(0)$. Giao với $Ox$ ứng với các nghiệm $f(x)=0$ thuộc miền xác định. Số nghiệm của $f(x)=m$ bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị với đường $y=m$; điểm tiếp xúc chỉ tính một nghiệm.

Đọc đồ thị phải phân biệt hoành độ và tung độ; đối chiếu hướng đi của nhánh với dấu đạo hàm. Không nối đồ thị qua điểm ngoài miền xác định, không nhầm đường tiệm cận với một nhánh của đồ thị.

Đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng khi miền xác định đối xứng qua $0$ và $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ thuộc miền. Tổng quát, $x=h$ là trục đối xứng khi các điểm $h+t$, $h-t$ cùng thuộc miền và $f(h+t)=f(h-t)$.

Đồ thị nhận $I(h;k)$ làm tâm đối xứng khi phép biến đổi $x\mapsto2h-x$ giữ miền xác định và $f(2h-x)=2k-f(x)$. Điều này có nghĩa hai điểm đối xứng qua $I$ cùng nằm trên đồ thị. Dùng tính đối xứng để kiểm tra hình dạng và vị trí các nhánh, cùng với bảng biến thiên và giới hạn.